Cách chứng minh hình bình hành – giải chi tiết 3 bài tập

Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình bình hành. Đề bài gồm ba bài toán như sau:

• Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có đường chéo BD. Từ A và C kẻ AE, CF vuông góc với BD ở H và K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
• Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F. Qua điểm O vẽ đường thẳng b cắt hai cạnh AB, CD lần lượt tại H, K. Chứng minh tứ giác EKFH là hình bình hành.
• Bài 3. Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD và AB = 1/2 CD. Gọi E là trung điểm của CD. a) Chứng minh tứ giác ABED là hình bình hành. b) Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.

Đáp án đúng là: cả ba bài đều chứng minh được — AHCK (bài 1), EKFH (bài 2), ABED và ABCE (bài 3) đều là hình bình hành. Cách chứng minh hình bình hành ở đây bám vào hai dấu hiệu cốt lõi: một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau (bài 1 và bài 3), và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (bài 2).

Vì sao các tứ giác trên là hình bình hành — lời giải chi tiết

Bài 1: Tứ giác AHCK

1. Vì AE ⊥ BD tại H và CF ⊥ BD tại K nên AE ∥ CF (hai đường cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau). Do H nằm trên AE, K nằm trên CF nên hai cạnh AH và CK của tứ giác AHCK cũng song song: AH ∥ CK.
2. Xét tam giác ABD và tam giác CDB có: AB = CD và AD = CB (tính chất hai cạnh đối của hình bình hành), BD là cạnh chung, nên tam giác ABD = tam giác CDB (c.c.c). Suy ra hai đường cao ứng với cạnh chung BD bằng nhau, tức AH = CK. Đây chính là ý “AE = CF vì là hai đường cao tương ứng” của hai tam giác bằng nhau.
3. Tứ giác AHCK có AH ∥ CK và AH = CK, vậy AHCK là hình bình hành (dấu hiệu: một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Bài 2: Tứ giác EKFH

1. O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của cả AC và BD, đồng thời là tâm đối xứng của hình: qua phép đối xứng tâm O, cạnh AD biến thành cạnh BC, cạnh AB biến thành cạnh CD.
2. Đường thẳng a đi qua O và cắt AD tại E, BC tại F. Ảnh của E qua phép đối xứng tâm O nằm trên BC và cũng nằm trên đường thẳng a (đường thẳng qua tâm đối xứng biến thành chính nó), vậy ảnh đó chính là F. Do đó O là trung điểm của EF, tức EO = OF.
3. Hoàn toàn tương tự, đường thẳng b qua O cắt AB tại H, CD tại K; hai điểm H và K đối xứng nhau qua tâm O nên O là trung điểm của HK, tức OH = OK.
4. Tứ giác EKFH có hai đường chéo EF và HK cắt nhau tại O, mà O là trung điểm của mỗi đường, vậy EKFH là hình bình hành.

Bài 3: Hai tứ giác ABED và ABCE

a) Chứng minh tứ giác ABED là hình bình hành

1. E là trung điểm của CD nên DE = 1/2 CD, mà AB = 1/2 CD (giả thiết), suy ra AB = DE.
2. E nằm trên CD và AB ∥ CD (giả thiết) nên AB ∥ DE.
3. Tứ giác ABED có cặp cạnh đối AB, DE vừa song song vừa bằng nhau, vậy ABED là hình bình hành.

b) Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành

1. E là trung điểm của CD nên CE = 1/2 CD, mà AB = 1/2 CD (giả thiết), suy ra AB = CE.
2. E nằm trên CD và AB ∥ CD (giả thiết) nên AB ∥ CE.
3. Tứ giác ABCE có cặp cạnh đối AB, CE vừa song song vừa bằng nhau, vậy ABCE là hình bình hành.

Hệ thống kiến thức: dấu hiệu nhận biết hình bình hành

Mấu chốt của cả dạng bài này là nắm vững các dấu hiệu nhận biết hình bình hành, sau đó chọn dấu hiệu khớp với dữ kiện đề cho:

• Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song (đây chính là định nghĩa hình bình hành).
• Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau.
• Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau — dùng ở bài 1 và bài 3.
• Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường — dùng ở bài 2.

Bài 1 tạo ra các tam giác vuông nhờ kẻ đường vuông góc xuống đường chéo, từ đó chứng minh cạnh song song và bằng nhau. Bài 2 khai thác tính chất giao điểm hai đường chéo và tâm đối xứng của hình bình hành. Bài 3 kết hợp giả thiết về độ dài (AB = 1/2 CD) với trung điểm E để suy ra cặp cạnh đối bằng nhau. Luyện tập dạng này giúp củng cố kiến thức hình học phẳng và rèn suy luận logic khi đối chiếu giả thiết với dấu hiệu.

Mẹo ghi nhớ và cách nhận diện nhanh

Chọn dấu hiệu theo từ khóa xuất hiện trong đề bài:

• Thấy “giao điểm hai đường chéo O” và các đường thẳng đi qua O → nghĩ ngay đến dấu hiệu hai đường chéo; chứng minh O là trung điểm của từng đoạn bằng tính chất tâm đối xứng (bài 2).
• Thấy “vuông góc với cùng một đường thẳng” hoặc “trung điểm kèm tỉ lệ độ dài” → hướng tới chứng minh một cặp cạnh đối song song và bằng nhau (bài 1, bài 3).
• Mẹo nhanh ở bài 3: vì AB = 1/2 CD nên cùng lúc AB = DE và AB = CE, hai kết luận a) và b) lập tức nhận được.

Cảnh giác với bẫy: chỉ chứng minh được song song thôi thì chưa đủ — hình thang cũng có một cặp cạnh song song nhưng không phải hình bình hành. Cặp cạnh đó phải kèm điều kiện bằng nhau. Ngược lại, chỉ biết hai đoạn bằng nhau mà thiếu song song thì cũng chưa kết luận được.