Mảnh vườn hình chữ nhật MNPQ – Chu vi, diện tích và chi phí trồng rau

Một mảnh vườn hình chữ nhật MNPQ có chiều dài MN = 30 m, chiều rộng MQ = 24 m. Người ta chia mảnh vườn thành hai phần: một phần trồng rau bên trong hình thoi ABCD và phần còn lại trồng cây cảnh. Các điểm A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MQ, MN, NP, PQ.

• a) Tính chu vi và diện tích mảnh đất hình chữ nhật MNPQ.
• b) Người chủ vườn thuê người trồng rau sạch với chi phí 60.000 đồng/m². Tính số tiền công phải chi trả cho việc trồng rau.

Đáp án: a) Chu vi = 108 m; Diện tích = 720 m². b) Số tiền = 21.600.000 đồng. Diện tích phần trồng rau chính là diện tích hình thoi ABCD — bằng một nửa diện tích hình chữ nhật MNPQ — nên bằng 360 m², nhân với đơn giá 60.000 đồng/m² ra kết quả trên.

Lời giải chi tiết

Phần a — Chu vi và diện tích hình chữ nhật MNPQ

Chu vi hình chữ nhật được tính bằng công thức C = 2 × (dài + rộng). Thay số:

1. Chu vi: C = 2 × (30 + 24) = 2 × 54 = 108 m.
2. Diện tích: S = dài × rộng = 30 × 24 = 720 m².

Phần b — Diện tích hình thoi ABCD và chi phí trồng rau

Vì A, B, C, D lần lượt là trung điểm của bốn cạnh MQ, MN, NP, PQ, tứ giác ABCD tạo thành là một hình thoi. Hai đường chéo của hình thoi này chính là hai đoạn thẳng nối các cặp trung điểm đối diện, có độ dài bằng chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, tức là d₁ = 30 m và d₂ = 24 m.

Diện tích hình thoi tính theo hai đường chéo: S_thoi = (d₁ × d₂) / 2 = (30 × 24) / 2 = 720 / 2 = 360 m².

Kết quả này cũng có thể hiểu trực tiếp: diện tích hình thoi tạo bởi các trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật luôn bằng đúng một nửa diện tích hình chữ nhật đó.

Số tiền công trồng rau:

1. Diện tích phần trồng rau = diện tích hình thoi ABCD = 360 m².
2. Chi phí = 360 × 60.000 = 21.600.000 đồng.

Hệ thống kiến thức liên quan

Bài toán khai thác hai mảng kiến thức hình học cơ bản cần nắm chắc:

• Hình chữ nhật: Chu vi = 2 × (dài + rộng); Diện tích = dài × rộng. Đây là công thức nền tảng, không thể nhầm lẫn.
• Hình thoi tạo bởi các trung điểm: Khi nối trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật, tứ giác thu được là một hình thoi. Hai đường chéo của hình thoi này vuông góc với nhau và có độ dài lần lượt bằng chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật gốc.
• Diện tích hình thoi theo đường chéo: S = (d₁ × d₂) / 2. Vì d₁ và d₂ đúng bằng hai kích thước của hình chữ nhật, diện tích hình thoi bằng một nửa diện tích hình chữ nhật — mối liên hệ quan trọng và xuất hiện nhiều trong đề thi.
• Bài toán chi phí: Tổng chi phí = diện tích cần thi công × đơn giá. Xác định đúng vùng diện tích cần tính (ở đây là phần trồng rau, tức hình thoi ABCD, không phải toàn bộ hình chữ nhật) là bước then chốt tránh sai kết quả.

Mẹo ghi nhớ và nhận diện nhanh

Mỗi khi đề bài cho các điểm là trung điểm của bốn cạnh một hình chữ nhật, tứ giác tạo thành luôn là hình thoi có diện tích bằng đúng một nửa hình chữ nhật. Không cần tính riêng từng đường chéo; chỉ cần nhớ: S_thoi = S_chữ nhật / 2.

Với bài toán chi phí hoặc đơn giá, câu hỏi then chốt cần đặt ra ngay từ đầu là: diện tích cần nhân đơn giá là vùng nào? Ở dạng bài này, vùng trồng rau là hình thoi bên trong, không phải toàn bộ mảnh vườn — đây là điểm học sinh hay bỏ qua, dẫn đến nhân nhầm 720 m² thay vì 360 m².