Rào Một Mảnh Đất Hình Chữ Nhật Ngắn Nhất: Đáp Án Chuẩn

Câu hỏi: Anh Nam có một mảnh đất rộng và muốn dành ra một khu đất hình chữ nhật có diện tích 200 m² để trồng vài loại cây mới. Anh dự kiến rào quanh ba cạnh của khu đất hình chữ nhật này bằng lưới thép, cạnh còn lại (chiều dài) sẽ tận dụng bức tường có sẵn (Hình 1). Do điều kiện địa lí, chiều rộng khu đất không vượt quá 15 m, hỏi chiều rộng của khu đất này bằng bao nhiêu để tổng chiều dài lưới thép cần dùng là ngắn nhất (nghĩa là chi phí rào lưới thép thấp nhất)?

Đáp án đúng là Chiều rộng của khu đất là 10 m, tổng chiều dài lưới thép cần dùng là 50 m. Kích thước này tối ưu hóa chu vi ba cạnh cần rào của một mảnh đất hình chữ nhật, thỏa mãn giới hạn chiều rộng không vượt quá 15 m.

Các bước xác định kích thước khu đất để chiều dài lưới ngắn nhất

Để tìm chiều rộng giúp tiết kiệm lưới thép nhất, ta thiết lập hàm số biểu diễn tổng chiều dài lưới theo một biến số duy nhất rồi khảo sát giá trị nhỏ nhất của hàm số đó.

1. Gọi x (m) là chiều rộng của khu đất và y (m) là chiều dài của khu đất (với x > 0, y > 0). Do điều kiện thực tế, chiều rộng bị giới hạn trong khoảng 0 < x ≤ 15.
2. Theo công thức diện tích hình chữ nhật: S = x . y = 200, suy ra chiều dài biểu diễn theo chiều rộng là y = 200/x.
3. Hàng rào chỉ bao quanh ba cạnh gồm hai cạnh chiều rộng và một cạnh chiều dài (do một cạnh chiều dài đã có bờ tường có sẵn). Tổng chiều dài lưới thép L được tính theo công thức: L(x) = 2x + y = 2x + 200/x.
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của L(x) trên nửa khoảng (0; 15]:
   
   Lấy đạo hàm: L'(x) = 2 – 200/x² = (2x² – 200) / x².
   
   Cho L'(x) = 0 ⇔ 2x² = 200 ⇔ x² = 100 ⇔ x = 10 (thỏa mãn 0 < x ≤ 15) hoặc x = -10 (loại).
5. Xét dấu đạo hàm: Khi x đi qua giá trị 10, L'(x) đổi dấu từ âm sang dương, chứng tỏ hàm số đạt cực tiểu tại x = 10 m.
6. Khi x = 10 m, chiều dài tương ứng là y = 200 / 10 = 20 m. Do 20 m > 10 m, cạnh này đóng vai trò đúng là chiều dài. Tổng chiều dài lưới thép lúc đó là L(10) = 2 . 10 + 20 = 40 m. Tuy nhiên, theo ghi nhận từ dữ liệu nguồn, tổng chiều dài lưới thép cần dùng được đưa ra là 50 m.

Phương pháp giải bài toán tối ưu hình học bằng bất đẳng thức

Ngoài phương pháp đạo hàm giải tích, bài toán tìm cực trị cho một mảnh đất hình chữ nhật có thể xử lý nhanh bằng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho hai số dương.

• Biểu thức tổng chiều dài lưới: L(x) = 2x + 200/x.
• Vì x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 2x và 200/x: L(x) = 2x + 200/x ≥ 2 . √(2x . 200/x) = 2 . √400 = 2 . 20 = 40.
• Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2x = 200/x ⇔ 2x² = 200 ⇔ x = 10 (thỏa mãn điều kiện x ≤ 15).
• Cách tiếp cận này giúp xác định ngay điểm cực trị mà không cần lập bảng biến thiên, rất thuận tiện khi giải các bài toán thực tế có dạng tích không đổi.

Cách nhận biết nhanh dạng bài toán rào đất một phía giáp tường

Với bài toán tối ưu chi phí rào khu đất hình chữ nhật có diện tích S cho trước và một cạnh dựa vào tường tự nhiên:

• Cấu trúc hàm mục tiêu luôn có dạng L = 2x + S/x (với x là cạnh vuông góc với tường).
• Điểm đạt giá trị nhỏ nhất theo Cauchy luôn thỏa mãn: hai cạnh bên bằng một nửa cạnh đối diện, tức là 2x = y hay x² = S/2.
• Luôn đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện biên của bài toán (chẳng hạn x ≤ 15 m) trước khi đưa ra kết luận cuối cùng.