Tính P = ab + 2√(a²+b²+8 – √2(a²+4)(b²+4)) Chi Tiết

Câu hỏi: Cho các số thực a, b không âm thỏa mãn điều kiện (a + 2)(b + 2) = 8. Tính giá trị của biểu thức P = ab + 2√(a² + b² + 8 – √(2(a² + 4)(b² + 4))).

Đáp án đúng là 4. Biểu thức rút gọn bằng cách biểu diễn đại lượng a^2+b^2 theo tích ab và khai căn chính xác cụm chứa căn lồng nhau.

Các bước biến đổi chi tiết để tìm giá trị biểu thức P

Giá trị của P được tính tuần tự qua việc khai triển giả thiết và phân tích hằng đẳng thức dưới dấu căn.

1. Khai triển giả thiết (a + 2)(b + 2) = 8 ta được ab + 2a + 2b + 4 = 8, hay ab + 2(a + b) = 4. Từ đây suy ra a + b = (4 – ab) / 2.
2. Biểu diễn tổng bình phương theo hằng đẳng thức: a^2+b^2 = (a + b)² – 2ab = [(4 – ab) / 2]² – 2ab = (16 – 8ab + a²b²) / 4 – 2ab = (a²b² – 16ab + 16) / 4.
3. Khai triển cụm biểu thức dưới căn bậc hai bên trong: 2(a² + 4)(b² + 4) = 2(a²b² + 4a² + 4b² + 16) = 2a²b² + 8(a² + b²) + 32. Thay a² + b² = (a²b² – 16ab + 16) / 4 vào, ta có 2a²b² + 2(a²b² – 16ab + 16) + 32 = 4a²b² – 32ab + 64 = (2ab – 8)².
4. Do đó, √(2(a² + 4)(b² + 4)) = √((2ab – 8)²) = |2ab – 8|. Vì a, b không âm và ab + 2(a + b) = 4 nên ab ≤ 4, suy ra 2ab – 8 ≤ 0. Do vậy |2ab – 8| = 8 – 2ab.
5. Thay kết quả vào biểu thức dưới căn lớn: a² + b² + 8 – √(2(a² + 4)(b² + 4)) = a² + b² + 8 – (8 – 2ab) = a² + b² + 2ab = (a + b)².
6. Khi đó căn thức bậc hai rút gọn thành √((a + b)²) = a + b (do a, b không âm). Biểu thức ban đầu trở thành P = ab + 2(a + b). Đối chiếu lại bước 1, ta có ngay ab + 2(a + b) = 4.

Phương pháp kiểm tra bằng các giá trị đặc biệt

Phương pháp thử điểm biên giúp xác minh nhanh kết quả mà không cần biến đổi phức tạp toàn bộ biểu thức.

Từ điều kiện a, b không âm thỏa mãn (a + 2)(b + 2) = 8:

• Nếu chọn a = 0, đẳng thức trở thành 2(b + 2) = 8, dẫn tới b = 2. Thay trực tiếp vào P: P = 0·2 + 2√(0 + 4 + 8 – √(2(4)(8))) = 2√(12 – √64) = 2√(12 – 8) = 2√4 = 4.
• Nếu chọn b = 0, ta có a = 2. Biểu thức P = 2·0 + 2√(4 + 0 + 8 – √(2(8)(4))) = 2√(12 – 8) = 4.
• Các giá trị đối xứng như a = 1, b = 1 hay a = 2, b = 2 đều không thỏa mãn giả thiết vì cho tích (a + 2)(b + 2) lần lượt bằng 9 và 16, khác 8.

Lỗi sai phổ biến là phá dấu giá trị tuyệt đối |2ab – 8| thành 2ab – 8 mà quên xét dấu của đại lượng này, dẫn đến biểu thức dưới căn không tạo thành bình phương hoàn chỉnh.

Hệ thống kiến thức liên quan về biến đổi đại số

Bài toán kết hợp chặt chẽ giữa hằng đẳng thức đối xứng và kỹ thuật khử căn lồng căn.

• Mối liên hệ đối xứng giữa hai biến: Biểu diễn tổng các lũy thừa qua tổng S = a + b và tích P_t = ab, cụ thể là a^2+b^2 = S² – 2P_t.
• Khai căn biểu thức chứa dấu căn bậc hai: √A² = |A|. Biểu thức chỉ bằng chính A khi A ≥ 0 và bằng -A khi A < 0.
• Giới hạn giá trị của tích hai số không âm: Từ ab + 2(a + b) = 4 với a, b ≥ 0, ta luôn có ab ≤ 4 và a + b ≤ 2.

Cách nhận diện nhanh dạng toán biểu thức độc lập với biến

Khi gặp bài toán yêu cầu tính giá trị cụ thể của một biểu thức đối xứng với điều kiện ràng buộc giữa hai biến, biểu thức thường có giá trị không đổi. Tận dụng các giá trị đặc biệt tại biên như cho một biến bằng 0 để tìm biến còn lại, sau đó tính trực tiếp P giúp tìm ra đáp số ngay trong các bài kiểm tra trắc nghiệm.