Bài toán một mảnh đất hình chữ nhật: Đáp án và lời giải

Câu hỏi: Cô Trang có một mảnh đất hình chữ nhật. Cô chia mảnh vườn này thành hai khu đất hình chữ nhật để trồng rau và làm ao nuôi cá (với các kích thước có trong hình vẽ). Chiều dài khu đất trồng rau là 2x + 10 (m), chiều rộng là x + 1 (m).
a/ Viết phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị diện tích của phần trồng rau và tính diện tích nếu x = 10, y = 8.
b/ Biết ban đầu mảnh đất có chiều dài lớn hơn chiều rộng là 8 m, chiều dài của mảnh đất dùng để trồng rau lớn hơn chiều rộng của nó là 6 m. Hãy tìm chiều dài và chiều rộng của mảnh đất ban đầu? (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình).

Đáp án đúng là: a/ Biểu thức diện tích S = (x + 1)(2x + 10), với x = 10 thì S = 330 m²; b/ Hệ phương trình có vô số nghiệm, không xác định được kích thước ban đầu. Khi thay số vào công thức diện tích của một mảnh đất hình chữ nhật, ta tính được giá trị cụ thể; tuy nhiên ở câu b, hai dữ kiện dẫn tới hai phương trình trùng nhau nên hệ vô số nghiệm.

Lời giải chi tiết từng câu hỏi

Dưới đây là các bước biến đổi đại số và lập luận toán học theo đề bài:

1. Câu a: Khu đất trồng rau có dạng hình chữ nhật với chiều dài là 2x + 10 (m) và chiều rộng là x + 1 (m). Diện tích phần đất này được tính theo công thức lấy chiều dài nhân chiều rộng: S = (x + 1)(2x + 10). Về mặt toán học, đây là biểu thức bậc hai theo biến x. Để đưa về dạng phương trình bậc nhất hai ẩn theo yêu cầu đề bài, ta gán thêm ẩn S đại diện cho diện tích: S = (x + 1)(2x + 10). Khi x = 10 (đề bài cho thừa dữ kiện y = 8 vì biến y không xuất hiện trong biểu thức kích thước), ta thay x vào tính toán: S = (10 + 1)(2.10 + 10) = 11 . 30 = 330 m².
2. Câu b: Gọi chiều dài ban đầu của một mảnh đất hình chữ nhật là a (m) và chiều rộng ban đầu là b (m), điều kiện a > b > 0.
   
   – Dữ kiện 1: Chiều dài ban đầu lớn hơn chiều rộng ban đầu 8 m, ta có phương trình: a – b = 8.
   
   – Dữ kiện 2: Theo kích thước trên hình, chiều dài khu trồng rau giảm 6 m so với ban đầu (a – 6) và chiều rộng giảm 4 m (b – 4). Hiệu giữa chiều dài và chiều rộng phần trồng rau bằng 6 m, ta có phương trình: (a – 6) – (b – 4) = 6.
   
   – Rút gọn phương trình thứ hai: a – 6 – b + 4 = 6 biến đổi thành a – b – 2 = 6, tương đương a – b = 8.

Cả hai mối liên hệ đều quy về cùng một phương trình duy nhất là a – b = 8. Vì hai phương trình phụ thuộc tuyến tính (trùng nhau), hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm. Do đó, dữ kiện đề bài không đủ để tìm ra một cặp nghiệm duy nhất cho chiều dài và chiều rộng ban đầu.

Phân tích tính nhất quán của dữ kiện bài toán

Dữ kiện câu b bị rơi vào trường hợp thông tin phụ thuộc lẫn nhau. Khi phương trình thứ hai sau khi rút gọn hoàn toàn trùng khớp với phương trình thứ nhất, hệ thức không cung cấp thêm bất kỳ ràng buộc độc lập nào để cố định giá trị của từng ẩn số.

Nhiều học sinh thường cố gắng gán ghép thêm số liệu hoặc ngộ nhận rằng đề bài luôn có một nghiệm duy nhất dạng số nguyên cụ thể. Tuy nhiên, việc nhận biết hệ phương trình vô số nghiệm hoặc vô nghiệm là một phần quan trọng trong kỹ năng giải toán thực tế.

Kiến thức liên quan cần ghi nhớ

Bài toán tích hợp các chủ điểm kiến thức trọng tâm của chương trình toán THCS:

• Công thức diện tích hình chữ nhật: Diện tích bằng tích của chiều dài và chiều rộng (S = a . b). Cần chú ý bậc của biểu thức khi nhân hai đa thức bậc nhất cùng biến.
• Mô hình hóa toán học bằng hệ phương trình: Đặt ẩn, xác định đơn vị và điều kiện của ẩn, sau đó chuyển đổi từng câu chữ mô tả mối quan hệ thực tế thành các phương trình đại số tương ứng.
• Số nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Hệ dạng ax + by = c và a’x + b’y = c’ có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, hoặc vô số nghiệm (khi các hệ số tỉ lệ a/a’ = b/b’ = c/c’).

Cách nhận diện nhanh dạng toán lập hệ phương trình

Để xử lý nhanh dạng bài hình học thực tế, trước tiên hãy vẽ hình và điền trực tiếp các kích thước đại số lên từng cạnh. Khi lập hệ phương trình, luôn kiểm tra xem hai phương trình tìm được có độc lập với nhau hay không. Nếu sau khi thu gọn, vế trái và vế phải của hai phương trình giống hệt nhau hoặc tỉ lệ hoàn toàn với nhau, hệ sẽ có vô số nghiệm; từ đó giúp bạn kết luận chính xác mà không mất thời gian tìm nghiệm vô ích.