Cho hình bình hành ABCD Oxyz: Tìm tọa độ đỉnh D và vectơ

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(-1; 1; 2), B(1; 0; 3), C(0; 2; -2). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

• A. Vectơ BC có tọa độ là (-1; 2; -5).
• B. Vectơ AB có tọa độ là (0; -1; 1).
• C. Tọa độ điểm D là (-2; 3; -3).
• D. Vectơ AD có tọa độ là (1; -2; 5).

Đáp án đúng là A, C. Vectơ BC có tọa độ chuẩn xác là (-1; 2; -5) và áp dụng đẳng thức vectơ của hình bình hành xác định được tọa độ đỉnh D là (-2; 3; -3). Hiểu rõ tọa độ các đỉnh cũng là cơ sở để giải đáp diện tích hình bình hành là j thông qua công thức tích có hướng trong không gian.

Vì sao khẳng định A và C đúng?

Các khẳng định A và C hoàn toàn chính xác dựa theo quy tắc tính tọa độ vectơ và tính chất vectơ của hình bình hành trong không gian Oxyz.

Quy trình xác định cụ thể như sau:

1. Tính tọa độ vectơ BC: Theo công thức tọa độ vectơ đi qua hai điểm, ta lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu: vectơ BC = (xC – xB; yC – yB; zC – zB) = (0 – 1; 2 – 0; -2 – 3) = (-1; 2; -5). Do đó, khẳng định A đúng.
2. Tìm tọa độ đỉnh D: Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên hai vectơ đối diện có cùng hướng và cùng độ dài, nghĩa là vectơ AB = vectơ DC. Gọi D có tọa độ (x; y; z), ta tính được vectơ DC = (0 – x; 2 – y; -2 – z). Trước đó, ta có vectơ AB = (1 – (-1); 0 – 1; 3 – 2) = (2; -1; 1). Đồng nhất tọa độ hai vectơ này:
   • -x = 2 ⇒ x = -2
   • 2 – y = -1 ⇒ y = 3
   • -2 – z = 1 ⇒ z = -3

   Kết luận tọa độ điểm D là (-2; 3; -3). Do đó, khẳng định C đúng.

Vì sao khẳng định B và D sai?

Hai khẳng định B và D đưa ra kết quả sai lệch so với các bước biến đổi hình học giải tích chuẩn xác.

Phương án B sai vì tọa độ vectơ AB tính đúng phải là (2; -1; 1), thu được từ phép tính B – A = (1 – (-1); 0 – 1; 3 – 2). Việc đưa ra kết quả khác (2; -1; 1) thường xuất phát từ việc trừ nhầm thứ tự giữa điểm đầu và điểm cuối hoặc sai dấu khi trừ số âm.

Phương án D sai do tọa độ vectơ AD thực tế là (-1; 2; -5). Khi lấy tọa độ D(-2; 3; -3) trừ đi tọa độ A(-1; 1; 2), ta có (-2 – (-1); 3 – 1; -3 – 2) = (-1; 2; -5). Phương án D dễ gây nhầm lẫn nhất do học sinh sơ suất tính ngược thành vectơ DA = (1; -2; 5), dẫn tới việc đảo dấu toàn bộ các thành phần tọa độ.

Hệ thống kiến thức về hình bình hành trong không gian Oxyz

Hình bình hành trong hệ tọa độ Oxyz có các tính chất đại số và hình học cốt lõi cần ghi nhớ:

• Đẳng thức vectơ: Trong hình bình hành ABCD, ta luôn có vectơ AB = vectơ DC hoặc vectơ AD = vectơ BC. Đây là công cụ hữu hiệu nhất để tìm tọa độ đỉnh còn lại khi đã biết ba đỉnh.
• Tính chất trung điểm đường chéo: Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường. Ta có xA + xC = xB + xD, yA + yC = yB + yD, zA + zC = zB + zD. Từ đây suy ra nhanh: xD = xA + xC – xB, yD = yA + yC – yB, zD = zA + zC – zB.
• Khái niệm diện tích hình bình hành: Nếu người học thắc mắc diện tích hình bình hành là j trong hình học không gian Oxyz, thì đó chính là độ lớn (độ dài) của tích có hướng giữa hai vectơ chung gốc tạo nên hai cạnh kề, ký hiệu S = |[vectơ AB, vectơ AD]|.

Mẹo ghi nhớ và nhận diện nhanh dạng toán tìm đỉnh hình bình hành

Khi gặp bài toán cho ba đỉnh của hình bình hành ABCD và yêu cầu tìm tọa độ đỉnh D còn lại, ta áp dụng trực tiếp quy tắc cộng trừ nhanh qua tâm hình bình hành:

Tọa độ đỉnh cần tìm bằng tổng tọa độ hai đỉnh kề trừ đi tọa độ đỉnh đối diện. Cụ thể: D = A + C – B. Thay số trực tiếp: x = -1 + 0 – 1 = -2; y = 1 + 2 – 0 = 3; z = 2 + (-2) – 3 = -3. Cách này giúp tìm ra ngay D(-2; 3; -3) trong vài giây mà không cần giải hệ phương trình.