Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật: Đáp án

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA ⊥ (ABCD). Biết SA = 3a√30/10, AB = a, AD = 3a. Gọi H là hình chiếu của A lên BD. Số đo góc phẳng nhị diện [S,BD,A] bằng:

• A. 45°
• B. 60°
• C. 90°
• D. 30°

Đáp án đúng là B. 60°. Khi xét bài toán cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, góc phẳng nhị diện [S,BD,A] chính là góc SHA, có tang bằng √3 tương ứng với số đo 60°.

Các bước xác định và tính số đo góc phẳng nhị diện

Góc phẳng nhị diện [S,BD,A] có cạnh nhị diện là BD, hai mặt lần lượt là (SBD) và (ABD). Để xác định góc này, ta tìm hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến BD tại một điểm:

1. Theo giả thiết, H là hình chiếu vuông góc của A lên BD nên AH ⊥ BD và AH nằm trong mặt phẳng (ABD).
2. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD. Do BD vuông góc với cả SA và AH nên BD vuông góc với mặt phẳng (SAH), kéo theo BD ⊥ SH.
3. Hai đường thẳng SH thuộc (SBD) và AH thuộc (ABD) cùng vuông góc với BD tại H, do đó góc phẳng nhị diện [S,BD,A] chính là góc SHA.

Quá trình tính toán số đo góc SHA thực hiện tuần tự như sau:

1. Xét tam giác ABD vuông tại A, tính độ dài BD theo định lý Pythagore: BD² = AB² + AD² = a² + (3a)² = 10a², suy ra BD = a√10.
2. Đường cao AH trong tam giác vuông ABD thỏa mãn hệ thức: AH . BD = AB . AD ⇒ AH = (a . 3a) / (a√10) = 3a / √10.
3. Tam giác SAH vuông tại A vì SA ⊥ (ABCD). Ta tính tang của góc SHA: tan(SHA) = SA / AH = (3a√30 / 10) / (3a / √10) = (√30 / 10) . √10 = √300 / 10 = (10√3) / 10 = √3.
4. Giá trị tan(SHA) = √3 dẫn đến góc SHA = 60°.

Lý do các phương án còn lại sai

• Phương án A (45°): Kết quả này xuất hiện khi nhầm lẫn tỷ số giữa SA và AH bằng 1, tức là tính sai độ dài AH bằng chính SA.
• Phương án D (30°): Đây là phương án dễ gây nhầm lẫn nhất do nghịch đảo tỷ số tang, tính nhầm tan = AH / SA = 1/√3 thay vì SA / AH = √3.
• Phương án C (90°): Góc nhị diện chỉ đạt 90° khi hai mặt phẳng vuông